Matematika dan IAD (Himpunan dan Bilangan)

6.1 PENGERTIAN, PENULISAN DAN MACAM HIMPUNAN

Definisi Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana bukan anggota himpunan.

Notasi Himpunan

Untuk menyatakan suatu himpunan ditentukan oleh hal-hal berikut:

1.      Nama suatu himpunan harus ditulis menggunakan huruf kapital. (E, F,G ,H …..dst)

2.      Sedangkan anggota himpunan biasanya dinyatakan dalam huruf kecil ; e,f,g,h …

3.      Anggota-anggota himpunan harus dibatasi dengan tanda kurung {}

4.      Untuk memisahkan anggota yang satu dengan anggota yang lain menggunakan tanda koma.

Macam-Macam Himpunan :
vHimpunan di dalam himpunan
Pada gambar tersebut semua anggota A ada di dalam himpunan B, maka A disebut bagian dari B, ditulis A⊂B dibaca A himpunan bagian dari B.
Himpunan A disebut himpunan bagian dari B ditulis A⊂B jika dan hanya jika untuk setiap x anggota A maka x anggota B

vHimpunan kuadrat bilangan cacah
adalah himpunan bilangan cacah yang anggotanya dipangkatkan dua.
Contohnya
Y = {0^2,1^2,3^2)
vHimpunan bilangan prima
adalah himpunan bilangan yang anggotanya semua bilangan yang memiliki dua faktor
contohnya
Y = {2,3,,5,7}
vHimpunan berhingga
adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya dapat dihitung. Contohnya D = {bilangan genap kurang dari 10} atau D = {2,4,6,8}. Himpunan D jumlah anggotanya dapat dihitung yaitu sebanyak 4 buah.
vHimpunan tak hingga
adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya tidak terbatas atau tak hingga. Contohnya: A= {bilangan genap}, B= {bilangan ganjil}
vHimpunan kosong
adalah suatu himpunan yang tidak memiliki anggota sama sekali. Himpunan kosong dilambangkan dengan tanda {}. Contohnya B = {bilangan genap antara 2 dan 4}. ditulis B={}={0}.
vHimpunan semesta
adalah himpunan dari semua unsur yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta juga disebut himpunan uiversal dan ditulis dengan huruf S.
contohnya:
A = {1,3,5,7,9}
himpunan semestanya berupa:
S = {bilangan asli}
S = {bilangan cacah}
S = {bilangan ganjil kurang dari 10}
vHimpunan lepas
adalah ssuatu himpunan yang tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan lain.
Contohnya
A = {d,e,f}
B = {g,h,i}
maka himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B atau A//B
vHimpunan bilangan cacah
adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari nol dan seterusnya
contoh
K = {0,1,2,3,4,5}


vHimpunan bilangan asli
adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari bilangan satu dan seterusnya.
Contohnya
D = {1,2,3,4,}
vHimpunan bilangan genap
adalah himpunan yang anggotanya dimulai dari angka dua dan selalu genap atau habis dibagi dua
contohnya
G = {2,4,6,8,10}
vHimpunan bilangan ganjil
adalah himpunan yang anggota bilanganya tidak habis dibagi dua
contohnya
K = {1,3,5,7}
vHimpunan kuasa
Himpunan kuasa dari himpunan A adalah himpunan yang anggotanya semua himpunan bagian dari himpunan A dan ditulis 2A.
Contoh
A={2, 4}
2A ={∅,{2},{4},{2, 4}}
Dari contoh tersebut dapat disimpulkan:
Jika A adalah himpunan, n(A)=k, maka banyaknya anggot himpunan kuasa dari A ditulis n(2A)=2k.
v  Himpunan sama/Himpunan equal
Yaitu dua buah himpunan yang memiliki anggota yang persis sama, tanpa melihat urutannya.
contohnya A= {b,c,d}
B={d,c,b}
A=B
A jumlahnya sama dengan B
vHimpunan equivalen
Yaitu dua buah himpunan yang memiliki banyak anggota yang sama. Jika A equivalen B, maka ditulis A ~ B
vHimpunan Bagian
adalah apabila setiap unsur dalam himpunan B termasuk juga anggota A, maka B merupakan bagian dari himpunan A.
contohnya
B = {a,c,e}
A = {a,b,c,d,e}
jadi B bagian dari A.

6.2 DIAGRAM VENN
Diagram Venn
Himpunan dapat dinyatakan dalam bentuk gambar yang dikenal sebagai diagram Venn. Diagram Venn diperkenalkan oleh pakar  Matematika Inggris pada tahun 1834 – 1923 bernama John Venn.
Dalam membuat diagram Venn yang perlu diperhatikan yaitu :
1. Himpunan semesta (S) digambarkan sebagai persegi panjang dan huruf S diletakkan disudut kiti atas persegi panjang.
2. Setiap himpunan yang dibicarakan (selain himpunan kosong) ditunjukkan oleh kurva tersebut.
3. Setiap anggota ditunjukkan dengan noktah (titik)
4. Bila anggota suatu himpunan banyak sekali, maka anggota-anggotanya tidak perlu dituliskan.
contoh soal diagram venn :
1. A = {Tyo,Septi,Bimo, Tia,tiar,}
B = {Tia,Gading,Dani,Raisha,Tiar}
Dari himpunan A dan B tersebut, terdapat anggota-anggota himpunan sdari kedua himpunan tersebut yang sama. Maka anggota himpunan A dan B yang sama inilah yang disebut denganIrisan. Dengan menggunakan diagram venn maka irisan A dan B adalah sebagi berikut :



2. Jika A = {5,6,7,8} dan B  = {2,9,5,6}
Maka  A ∩ B = {2,3,5}, ditunjukan pada diagram venn berikut :


3. S = {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j} K ={a,b,c,d,e,f} L = {b,c,d,e}
Ditanyakan : K ∪ L ?
Dari ketiga himpunan tersebut, kita dapat menentukan bahwa K ∪ L = {a,b,c,d,e,f}.
Dengan menggunakan diagram venn dapat digambarkan sebagi berikut :


6.3 OPERASI PADA HIMPUNAN

1. Irisan

Irisan adalah dua himpunan yang bagian-bagiannya menjadi anggota dari keduanya.

Notasi : A Ç B = { x |x Î A dan x Î B }

Contohnya: Irisan himpunan Pasar ikan dan Supermarket
Pasar ikan  Ç Supermarket = { x | x Î Pasar ikan dan x Î Supermaket }

Jika Swalayan = {Ikan, Baju, Elektronik, Kerang}

Jika Pasar Ikan = {kerang, kepiting,ikan,belut}

Maka pasar ikan  Ç  swalayan = Ikan

2. Gabungan ( Union ).

Gabungan dua himpunan A  dan himpunan B ditulis “A ∪ B  ”, adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota A, atau anggota B , atau sekaligus kedua-keduanya. Atau A ∪ B 

didefinisikan sebagai :

Notasi : A È B = { x |x Î A atau x Î B }

Contoh :

(i) Jika A = { 1, 2, 3, 8 } dan B = { 7, 5, 2 }, maka A È B = { 1, 2, 3, 5, 7, 8 }

(ii) A È Æ = A

3. Komplemen (complement)

Komplemen dari himpunan A terhadap suatu himpunan semesta U adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen U yang bukan elemen A.

Notasi :  = { x |x Î U dan x Ï A }

Contoh :

Misalkan U = { 1, 2, 3, …, 9 },

(i) jika A = {1, 2, 6, 8}, maka  = {3, 4, 5, 7, 9}

(ii) jika A = { x | x/2 ΠP, x < 9 }, maka  = { 1, 3, 5, 7, 9 }

4. Selisih (Minus) A – B

Adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota A tetapi tidak menjadi anggota B.

Notasi : A – B = { x |x Î A dan x Ï B } = A Ç

Contoh : (i)     Jika A = { 1, 2, 3, …, 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A = Æ

(ii) {1, 2, 4} – {1, 5, 3} = {2, 4}, tetapi {1, 5, 3} – {1, 2, 4} = {3, 5}

HUBUNGAN ANTARA HIMPUNAN DENGAN DIAGRAM VENN

Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.

Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram Venn

Teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.

A. Anggota Himpunan

a. Untuk menyatakan suatu benda (objek) yang merupakan anggota himpunan dilambangkan " ∈" dan jika bukan anggota dilambangkan " ".

b.Himpunan terhingga dan tak terhingga Himpunan terhingga adalah himpunan yang anggotanya tertentu. Himpunan tak terhingga adalah himpunan yang anggotanya tak terbatas jumlahnya.

B. Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota Notasi himpunan kosong adalah { } atau {0} bukan himpunan kosong karena mempunyai anggota yaitu “nol”.

C. Himpunan bagian

A himpunan bagian dari B jika setiap anggota A merupakan anggota himpunan B dan ditulis "A( B". Jika banyaknya anggota suatu himpunan A adalah n(A), maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah 2n(A)

D. Himpunan semesta

adalah himpunan yang memuat semua obyek yang dibicarakan. notasi "S".

E. Diagram Venn

digunakan untuk menyatakan suatu himpunan atau hubungan antar himpunan.

F.Menyatakan suatu Himpunan

Dengan kata-kata

Dengan cara menyebutkan semua syarat/sifat keanggotaannya.

Contoh: P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 40, ditulis P = {bilangan prima antara 10 dan 40}.

2. Dengan notasi pembentuk himpunan

Sama seperti menyatakan himpunan dengan kata-kata, pada cara ini disebutkan semua syarat/sifat keanggotannya. Namun, anggota himpunan dinyatakan dengan suatu peubah. Peubah yang biasa digunakan adalah x atau y. Contoh: P : {bilangan prima antara 10 dan 40}. Dengan notasi pembentuk himpunan, ditulis P = {10 < x < 40, x €bilangan prima}.

3. Dengan mendaftar anggota-anggotanya

Dengan cara menyebutkan anggota-anggotanya, menuliskannya dengan menggunakan kurung kurawal, dan anggotaanggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Contoh: P = {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}

G. Operasi Antar Himpunan dan Diagram Venn-nya

1. Irisan himpunan

A irisan B ditulis A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}

2. Gabungan Himpunan

A gabungan B ditulis A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}

3. Komplemen himpunan

Komplemen A ditulis A1 atau Ac = {x | x ∈ S dan x ∈ A}

H. Operasi Pada Himpunan

Jika S adalah himpunan semesta dan himpunan A Ì S , komplemen dari A , ditulis A’ , adalah himpunan dari semua anggota S yang bukan merupakan anggota A .

A’ = { x | x ÏA }

Gabungan (union) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A È B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A atau anggota B atau anggota keduanya.

A È B = { x | x ÎA atau x ÎB }

Irisan (interseksi) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A Ç B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota bersama dari himpunan A dan B.

A Ç B = { x | x ÎA dan x ÎB }

Selisih (difference) dari himpunan A dengan himpunan B, ditulis sebagai A - B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A yang bukan merupakan anggota himpunan B.

A - B = { x | x ÎA dan x ÏB }.

Jelas bahwa

B - A = { x | x ÎB dan x ÏA }.

Selisih simetri (symetric difference) dari himpunan A dengan himpunan B, ditulis sebagai A D B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota gabungan himpunan A dan B, tetapi bukan merupakan anggota irisan himpunan A dan B.

A D B = ( A È B ) – ( A Ç B )

atau

A D B = ( A – B ) È ( B - A ).

6.4 HIMPUNAN BILANGAN DAN SKEMA

SKEMA BILANGAN

 Macam-Macam Bilangan

1.      Bilangan kompleks

            a.       Bilangan Kompleks adalah suatu bilangan yang merupakan penjumlahan antara bilangan real dan bilangan imajiner. Bilagan komplek dinyatakan dengan a + bi, a e R, b e R. Contohnya : 3 + 4i, 5 – 7i.

            b.      Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan kompleks. Himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi) dimana a, b Î R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner. Himpunan bilangan riil yang kita pakai sehari-hari merupakanhimpunan bagian dari himpunan bilangan kompleks ini.Secara umum bilangan kompleks terdiri dari dua bagian : bagian riil dan bagian imajener (khayal).

2. Bilangan Real

Bilangan nyata adalah semua bilangan yang dapat ditemukan pada garis   bilangan dengan cara penghitungan, pengukuran, atau bentuk geometrik. Bilangan –bilangan tersebut ada di dunia nyata. Ada berbagai macam bilangan yang termasuk dalam bilangan nyata.

Dan merupakan suatu bilangan yang terdiri dari bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan real biasanya disajikan dengan sebuah garis bilangan.

3. Bilangan Imajiner

Bilangan imajiner adalah apabila sebuah bilangan bukan merupakan bilangan nyata (dalam artian bilangan tersebut bukan merupakan bilangan rasional maupun irasional), maka bilangan tersebut dikatakan imajiner.

Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² = -1

4.    Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bilangan Real yang dapat disusun ulang dalam bentuk pecahan di mana a dan b harus integer. Jadi, Bilangan irasional adalah bilangan Real yang TIDAK dapat disusun ulang dalam bentuk pecahan.

           5.    Bilangan Irasional

Bilangan irasional adalah suatu bilangan yang terdapat pada suatu garis bilangan yang tidak dapat di alokasikan dengan cara biasa karena bilangan ini tidak dapat digambarkan seperti halnya bilangan rasional.

           6.    Bilangan Bulat

      Bilangan bulat adalah bilangan bukan pecahan yang terdiri dari bilangan 

• Bulat positif (1, 2, 3, 4, 5, …)

• Nol : 0

• Bulat Negatif ( …,-5,-4,-3,-2,-1)

 Di dalam bilangan bulat terdapat bilangan genap dan ganjil :

• Bilangan bulat genap { …, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, … }

Bilangan yang habis dibagi dengan 2

• Bilangan bulat ganjil { …, -5, -3, -1, 1, 3, 5, … }

Bilangan yang apabila dibagi 2 tersisa -1 atau 1

          7.    Bilangan Pecahan

    Bilangan pecahan merupakan bilangan yang mempunyai jumlah kurang atau lebih dari utuh.

§  Terdiri dari pembilang dan penyebut.

§  Pembilangan merupakan bilangan terbagi.

§  Penyebut merupakan bilangan pembagi

   Macam-macam pecahan ;

      a.       Pecahan biasa

Bilangan pecahan yang hanya terdiri atas pembilang dan penyebut.

      b.      Pecahan Campuran

Bilangan pecahan yang terdiri atas bilangan utuh, pembilang dan penyebut.

      c.       Pecahan Desimal

Merupakan bilangan yang didapat dari hasil pembagian suatu bilangan dengan.

10, 100, 1.000, 10.000 dst.

      d.      Pecahan Persen

                        i.     Persen artinya perseratus.

                      ii.     Merupakan suatu bilangan dibagi dengan seratus.

      e.       Pecahan Permil

                       i.      Permil artinya perseribu.

                     ii.      Merupakan suatu bilangan dibagi seribu

                   iii.      Ditulis dengan tanda ‰ 

8.      Bilangan Cacah

a.       Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (1990:116) “bilangan cacah adalah satuan dalam sistem matematis yang abstrak dan dapat diunitkan, ditambah atau dikalikan”. “Himpunan bilangan cacah” adalah himpunan yang semua unsur-unsurnya bilangan cacah {0, 1, 2, 3, 4, 5, ….}. (Cholis Sa’dijah, 2001: 93).

b.         Menurut Muchtar A. Karim, Abdul Rahman As’sari, Gatot Muhsetyo dan Akbar Sutawidjaja (1997: 99) mengemukakan bahwa bilangan cacah dapat didefinisikan sebagai bilangan yang digunakan untuk menyatakan cacah anggota suatu himpunan. Jika suatu himpunan yang karena alasan tertentu tidak mempunyai anggota sama sekali, maka cacah anggota himpunan itu dinyatakan dengan “nol” dan dinyatakan dengan lambang “0”. Jika anggota suatu himpunan hanya terdiri atas satu anggota saja, maka cacah anggota himpunan tersebut adalah “satu” dan dinyatakan dengan lambang “1”.Demikian seterusnya sehingga kita mengenal barisan bilangan hasil pencacahan himpunan yang dinyatakan dengan lambang sebagai berikut :

       0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, . . .

       (Tanda “. . .” hendaknya diartikan sebagai “dan seterusnya” )

      c.     Menurut ST.  Negoro dan B. Harahap (1998: 41) menyatakan bahwa “bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang terdiri atas semua bilangan asli dan bilangan nol”.

9.      Bilangan Asli

Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yang paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia.

Himpunan bilangan asli Bilangan asli adalah suatu bilangan yang mula-mula dipakai untuk membilang. Bilangan asli dimulai dari 1,2,3,4,...dilambangkan dengan huruf A, dan ditulis A = (1,2,3,4,…)

10.  Bilangan Prima

Bilangan prima yaitu bilangan yang hanya dapat dibagi oleh bilangan 1 dan bilangan itu sendiri. Contoh: bilangan 17 hanya dapat dibagi 1 dan 17. Semua anggota bilangan prima adalah bilangan ganjil kecuali 2.  

11.  Bilangan Komposit

Bilangan komposit adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang bukan merupakan bilangan prima. Bilangan komposit dapat dinyatakan sebagai faktorisasi bilangan bulat, atau hasil perkalian dua bilangan prima atau lebih. Sepuluh bilangan komposit yang pertama adalah 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, dan 18. Atau bisa juga disebut bilangan yang mempunyai faktor lebih dari dua.

Refrensi:

http://nayoana.blogspot.co.id/2014/05/himpunan-bilangan-dan-skemanya.html

https://dyahayupratiwi.wordpress.com/category/tugas-5-matematika-ilmu-alamiah-dasar/

http://nda99des.blogspot.co.id/2014/05/himpunan-dan-bilangan.html